안녕하세요! 동욱입니다.
수학하면 떠오르는 가장 어려운 과목 중 하나가 바로 기하와 벡터입니다!
고등학교 3학년 교육과정에 포함되어 있으며 자연계열을 선택한 학생들만 학습하게 되는 과목이죠!
오늘은 제가 기하와 벡터 1단원에 나오는 평면곡선 단원에서 이차곡선이 실생활에 응용되는 경우에 대해 말씀해드릴까 합니다.
탐구 주제 : 인공위성 발사 과정에서 이차곡선을 찾아라!
탐구 동기
2013년 우리나라가 나로호 발사를 성공시키는 장면을 생중계로 보며 우주발사체에 대한 흥미가 생겼고, 2015년 북한의 미사일 발사 기술이 우리나라보다 10년가량 앞선다는 뉴스를 접한 뒤, 우리나라만의 독자적인 인공위성 발사체를 개발하고 싶다는 꿈을 가지게 되었다.
최근 기하와 벡터 수업시간에 포물선과 타원, 쌍곡선이라는 이차곡선에 대한 학습을 하면서 우주발사체의 발사 과정에서 이차곡선의 성질이 활용될 수 있겠다는 생각을 하였고, 이에 관심이 생겨 탐구를 시작하게 되었다.
탐구 목적
미사일의 발사 과정부터 인공위성이 지구 주위를 공전하는 과정에서 발견할 수 있는 이차곡선의 종류에 대하여 알아본다.
또한 이차곡선의 정의와 성질을 이용하여 인공위성 발사 기술을 발전시킬 수 있는 방안이 있는지 탐구해본다.
탐구과정
1. 미사일이 목표 물체를 설정하여 명중시키는 방안에 대하여 알아본다.
2. 포물선의 작도법을 응용하여 미사일 발사 과정에서 목표물을 명중시키는 방안을 탐구해본다.
3. 인공위성의 공전 속도에 따른 공전 형태에 대해 조사해본다.
4. 타원의 작도 방법을 이용하여 인공위성을 효율적으로 활용할 수 있는 방안에 대 하여 탐구해본다.
탐구 결과
1. 미사일은 목표지점의 지형 데이터를 인공위성으로 스캔한다. 그런 다음 미사일 데이터에 그 지점의 지형 데이터를 입력시킨다. 장거리 미사일은 레이더를 탑재하고 있어서 지형 데이터를 분석할 수 있는 장치가 있다. 즉 미사일을 쏘면 미사일이 날아가는 경로의 지형을 미사일에 탑재된 지형 데이터와 일치하는지 분석하여 날아가는 원리이다.
2. 이러한 정밀타격 기술이 발달하기 이전에는 포물선의 작도법에 따라 미사일을 발사시켰을 것이다. 포물선에서 준선과 x 축의 교점을 A, 초점 F를 지나고 x축에 수직인 직선이 1사분면에서 포물선과 만나는 점을 P, 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 사각형 AFPH는 정사각형이다. 이러한 포물선의 작도법을 이용하면 목표지점까지의 거리를 4P라고 할 때 최고 도달 높이를 P로 설정하여 미사일을 발사하면 된다.
3. 인공위성은 공전 속도에 따라 원 또는 타원궤도를 그리며 돌게 되고, 초속 7.9km보다 작으면 타원궤도를 그리다 추락하며, 초속 7.9km 일 때는 원 궤도로 운동한다. 또한, 초속 7.9km 이상 11.2km 이하일 때는 타원궤도로 회전하며, 초속 11.2km가 넘게 되면 지구 공전궤도를 벗어난다.
4. 인공위성은 지구 주위를 원 궤도로 회전하기 때문에 지속적으로 공기의 저항을 받아서 일정 시간이 지나면 훼손이 되고 지구 대기권에서 소멸하게 된다. 이에 타원의 작도 방법을 배우면서 인공위성을 조금 더 오래 사용할 수 있는 방법은 없는지 생각해보았다. 장축이 x축에 평행한 타원은 중심으로부터 좌우로 c 만큼 평행이동한 곳에 초점, 좌우로 a 만큼 평행이동한 곳에 장축의 꼭짓점을 잡는다. 이때 a^2=b^2+c^2인 직각삼각형을 설정하여 타원을 쉽게 작도할 수 있다. 지구를 초점 c의 위치에 놓는다고 가정하고, 인공위성이 지구의 모습을 촬영할 때의 위치를 a(근일점)라고 하면, 인공위성은 a를 지날 때에는 공기의 저항을 받지만 a의 반대편(원일점)을 지날 때에는 공기저항을 거의 받지 않는다. 이를 이용하여 인공위성의 공전궤도를 타원으로 설정하면 인공위성이 더 오랜 시간 작동할 수 있을 것이라는 생각을 하게 되었다.
결론 및 제언, 느낀 점
미사일을 발사할 때에는 포물선의 작도법을 이용하여 미사일의 낙하지점을 예측할 수 있다.
또한 인공위성은 공전 속도에 따라서 지구 주위를 타원 혹은 원운동 한다.
인공위성이 대기와의 마찰에 의해 손상되는 것을 줄이기 위해서 인공위성을 타원궤도로 공전시킨 후 초점에 지구를 위치시키고 타원 위의 점 중에서 초점과 가장 가까운 곳에서 위성 촬영을 시키는 방법을 알게 되었다.
우주발사체의 발사 과정과 인공위성의 작동원리에서도 이차곡선이 숨어있다는 사실을 알게 되었고, 이차곡선의 정의와 성질을 응용하여 여러 기술을 개발할 수 있다는 점을 느꼈다.
수학이 실생활에 응용되는 것을 직접 조사하고 경험하면서 수업시간에 배운 내용을 적용하고 관찰해보는 시간을 가질 수 있어서 좋았다.
Eng ver.
One of the hardest things to come up with in mathematics is geometry and vectors!
It is included in the high school third grade curriculum, and it is a subject that only the student who selected the natural course will learn!
Today, I would like to talk about the case where the quadratic curve is applied to real life in the plane curves section of Geometry and Vector 1.
Inquiry Topic: Find Secondary Curves in the Satellite Launch Process!
Inquiry motive
2013년 우리나라가 나로호 발사를 성공시키는 장면을 생중계로 보며 우주발사체에 대한 흥미가 생겼고, 2015년 북한의 미사일 발사 기술이 우리나라보다 10년가량 앞선다는 뉴스를 접한 뒤, 우리나라만의 독자적인 인공위성 발사체를 개발하고 싶다는 꿈을 가지게 되었다.
In recent geometry and vector class time, I learned about the secondary curves of parabola, ellipse and hyperbola, and thought that the properties of quadratic curves could be utilized in the launch process of space launch vehicle.
Purpose of inquiry
We will look at the types of quadratic curves that can be found in the course of launching missiles and the process of orbiting the Earth around the Earth.
We will also explore whether there is a way to develop satellite launch technology using the definition and properties of quadratic curves.
Inquiry course
1. Find out how the missile sets and hits the target object.
2. Using parabolic cartography, explore ways to hit targets in the missile launch process.
3. Investigate the idle mode depending on the revolution speed of the satellite.
4. We will explore ways to utilize satellites efficiently by using the method of drawing ellipses.
Inquiry result
1. The missile scans the terrain data of the target point into a satellite. Then enter the terrain data for that point into the missile data. Long-range missiles are equipped with radar, and there is a device that can analyze the terrain data. In other words, if the missile is shot, it is the principle that the topography of the path where the missile is flying matches with the terrain data mounted on the missile.2. Prior to the development of these precision strike techniques, the missile would have been fired in accordance with the parabolic method of construction. Let A be the intersection of the zipline and the x axis in the parabola, P be the point where the straight line perpendicular to the x axis intersects with the parabola in the first quadrant passing through the focus F, and H be the foot of the perpendicular line. Using this parabolic projection method, if the distance to the target point is 4P, the maximum reaching height is set to P and the missile is fired.
3. The artificial satellite revolves around a circular or elliptical orbit according to the revolution speed. If it is smaller than 7.9 km per second, it falls down in elliptical orbit. When the velocity is 7.9 km per second, it moves in a circular orbit. In addition, when the velocity is 7.9 km or more and 11.2 km or less, it is rotated into an elliptical orbit, and when the velocity per second exceeds 11.2 km, it deviates from the earth orbit.
4. Since the satellite revolves around the earth in a circular orbit, it receives constant resistance to the air, and after a certain period of time it is damaged and disappears from the Earth's atmosphere. By learning how to construct an ellipse, I wondered if there is a way to use the satellite a little longer. The ellipse whose major axis is parallel to the x axis is focused on the parallel movement from the center to the left and right by c. At this time, it is easy to construct ellipse by setting a right triangle with a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2. Assuming that the earth is placed at the position of the focus c, and the satellite is in a position (a perihelion) when the earth is photographed, the satellite receives resistance of the air when passing through a, It receives little resistance. By using this, we can think that if the orbit of the satellite is set to the ellipse, the satellite will be able to operate for a longer time.
Conclusion and Suggestions
When launching a missile, it is possible to predict the drop point of the missile by using the parabolic projection method.
The satellite also moves around the earth in elliptical or circular motion depending on the revolution speed.
In order to reduce the damage of the satellite by the friction with the atmosphere, we have learned how to make the satellite shoot in the elliptical orbit, then place the earth in the focus and the nearest point of focus on the ellipse.
I noticed that the secondary curves are hidden in the launching process of the space launch vehicle and the operation principle of the satellite, and I felt that I can develop various technologies by applying the definition and properties of the secondary curves.
It was good to be able to have time to apply and observe the contents learned in the class while directly investigating and experiencing the application of mathematics to real life.
When launching a missile, it is possible to predict the drop point of the missile by using the parabolic projection method.
The satellite also moves around the earth in elliptical or circular motion depending on the revolution speed.
In order to reduce the damage of the satellite by the friction with the atmosphere, we have learned how to make the satellite shoot in the elliptical orbit, then place the earth in the focus and the nearest point of focus on the ellipse.
I noticed that the secondary curves are hidden in the launching process of the space launch vehicle and the operation principle of the satellite, and I felt that I can develop various technologies by applying the definition and properties of the secondary curves.
It was good to be able to have time to apply and observe the contents learned in the class while directly investigating and experiencing the application of mathematics to real life.
Until now it was Dongwook. Thank you!
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